エネルギー保存則を満足する物体運動の予測を可能とする Hamiltonian Neural Networks

3つの要点

✔️物理系のシミュレーションをニューラルネットワークで実施したいが、保存則をどう取り入れるかは難しい
✔️エネルギー保存則を取り入れるようにハミルトン力学での正準方程式を満たすような損失を設計する
✔️数値データもしくは画像データからモデルを学習した結果、保存則を満たすような物体運動を予測できるようになった

機械学習は様々な分野で応用されるようになっていますが、物理学もその分野の一つに数えられます。
ディープラーニングの発展に伴い、理論的には繰り込み群との対応に注目して比較的早い段階から研究されるようになり、実験的にもデータから超新星を分類するなど、様々な形で取り入れられています。物理学の分野によってはデータ量も豊富にあるため、kaggle では過去に以下のようなコンペが開催されました。これらは基本的にはデータが与えられて特定のシグナルを検出したり分類したりという種類のタスクになっています。

これらは有意義な応用ですが、別の方向性として、物体の運動のシミュレーションにニューラルネットワークを使うというものもあります。
物理学の強力さの一つは物体の運動の時間発展をシンプルに記述できる点にありますが、その背後には例えば保存量などの様々な物理的な知識が隠れています。シミュレーションを通してニューラルネットワークにどうやってこれらの知識を獲得させるかということは興味深い研究対象の一つです。また、数値シミュレーションをする際にニューラルネットワークによって計算量や時間が改善される可能性もあります。

単に物体の運動をデータとして与えて未来の運動を予測するように学習させるだけでは、エネルギー保存則などの重要な物理法則を満たさないモデルができてしまう可能性があります。人類は保存則が成り立つことをよく知っていてその前提で現象(データ)を解釈しますが、ニューラルネットワークは保存則が陽には見えない上にノイズを含むデータを与えられて学習することしかできないためです。

今回紹介する論文では、エネルギー保存則が自然に取り入られるようにハミルトン力学の正準方程式を満たすような損失関数を設計し、以下のように実際にそれがうまく機能することを示しました。以降ではこの結果が意味するところを詳しく解説していきます。

従来手法と提案手法の Hamiltonian Neural Networks の結果の比較。提案手法では予測では相空間で半径一定の円軌道を描いていてエネルギーが保存していることが見てとれます。論文 (https://arxiv.org/abs/1906.01563) より引用。

ハミルトン力学と正準方程式

この論文を理解するためにはハミルトン力学とは何なのかを知っておく必要があるので、ここでごく簡単に説明しておきます。詳しく知りたい方は解析力学を学んでいただくことにして、ここでは論文を理解するのに必要な部分のみ説明します。

 

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