不安定外乱を持つ半導体製造工程を例に、テンソルベースのプロセス制御の性能を実証
3つの要点
✔️ 半導体製造プロセス、特にリソグラフィ工程での位置重ね合わせ制御をモチーフにして、複雑なデータの制御について議論しています。
✔️ 高次元プロセスモデルを構築し、テンソルオンベクター回帰アルゴリズムを用いてモデルのパラメータを推定することで、次元の呪いを緩和します。
✔️ テンソルパラメータの推定に基づいて、理論的に安定性が保証されたテンソルデータ用のEWMAコントローラーを設計、制御残差をモニタリングして、制御不可能な高次元の外乱による重大なドリフトを防止します。
Tensor-based process control and monitoring for semiconductor manufacturing with unstable disturbances
written by Yanrong Li, Juan Du, Fugee Tsung, Wei Jiang
[Submitted on 31 Jan 2024]
Comments: accepted by arXiv
Subjects: Machine Learning (stat.ML); Machine Learning (cs.LG); Image and Video Processing (eess.IV); Systems and Control (eess.SY)
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概要
製造システムに設置されたセンサーから収集される複雑なデータに対応するため、半導体製造プロセスにおける高次元の画像ベースのオーバーレイエラーを低減させる新しいプロセス制御とモニタリング手法を提案しています。この手法では、高次元プロセスモデルを構築し、テンソルオンベクター回帰アルゴリズムを用いてモデルのパラメータを推定することで、次元の呪いを緩和します。さらに、テンソルパラメータの推定に基づいて、理論的に安定性が保証されたテンソルデータ用のEWMAコントローラーを設計します。制御レシピの調整が高次元の外乱すべてを補償できないことを考慮し、制御残差をモニタリングして、制御不可能な高次元の外乱による重大なドリフトを防止します。広範なシミュレーションと実際のケーススタディを通じて、パラメータ推定アルゴリズムとテンソル空間におけるEWMAコントローラーの性能を評価し、既存の画像ベースのフィードバックコントローラーと比較して、提案手法の優位性を検証します。
はじめに
半導体製造プロセス、特にリソグラフィ工程に焦点を当て、オーバーレイエラーの検出と補正の重要性が深掘りされます。リソグラフィは、隣接する材料層間で発生するミスアライメントを最小限に抑えることを目指しており、これは半導体デバイスの性能に直接影響を及ぼします。オーバーレイエラーの低減は、高品質な製品を確保する上で極めて重要です。
オーバーレイエラーを正確に把握するため、ウェハ上の特定の位置でのエラー測定が画像として表現されます。このプロセスは図1に示されており、各測定点でのエラーは矢印で表され、その長さと方向がエラーの大きさと方向を示します。この画像ベースの表現は、エラーの視覚的な理解を深め、精密な補正を可能にします。
| 図1. ウェハ上のオーバーレイエラーの図解 |
オーバーレイエラーを補正するための制御レシピは、ウェハの位置や向き、レンズの高さなどを含みます。これらのパラメータを調整することで、エラーを補償し、製造プロセスの精度を向上させます。しかし、オーバーレイエラーの高次元性と複雑性は、これらの制御レシピによる完全な補償を困難にします。この課題に対処するため、テンソルベースのプロセス制御およびモニタリング手法の導入が提案されます。
提案された手法の核心は、製造プロセスから収集される高次元の画像データを効率的に扱い、プロセス制御およびモニタリングのためのテンソルベースのモデルを構築することです。このアプローチのフレームワークは、図2に示され、高次元パラメータの推定、テンソルデータ用のEWMAコントローラーの設計、および制御残差に基づくモニタリング戦略を含みます。これにより、プロセスの安定性が向上し、外乱に対する製造プロセスの耐性が強化されます。
| 図2. テンソルベースのプロセス制御とモニタリング |
提案されたテンソルベースの手法が従来の制御手法に比べてどのように優れているか、高次元データを扱う上で直面する課題への対応策としてどのように機能するかについて詳細に説明されています。テンソルベースの手法により、プロセスデータの多次元性と複雑性を考慮した、より効果的なプロセス制御とモニタリングが実現します。これにより、半導体製造プロセスの効率化、品質向上、およびコスト削減が期待されます。半導体製造業界における現在の課題と提案のテンソルベースの手法の潜在的な影響を深く理解するための詳細な導入が記載されています。
関連研究
既存のプロセス制御とモニタリング手法
Run-to-Run (R2R) 制御: 半導体製造を含む多くの複雑な製造システムでは、一連の生産タスク間で品質を安定させるためのR2R制御が広く利用されています。この方法は、単一入力-単一出力（SISO）システムから多入力-多出力（MIMO）システムまでありますが、ここでは主に一変数または多変数データに焦点を当てています。
プロセスモニタリング: 半導体製造プロセスにおいては、PCA（主成分分析）ベースの手法や局所累積和統計に基づくオンラインモニタリング手法など、さまざまなプロセスモニタリング手法が開発されています。これらの手法は、データの高次元性や非ガウス性を扱うことができますが、画像データのようなより複雑なデータ構造を効果的に扱うには限界があります。
テンソル分析の適用
テンソルベースの回帰: 複雑な構造と高次元データを扱うために、テンソル分析が回帰モデルに適用されています。これにより、例えば脳画像データ分析における変数オンテンソル回帰モデルや、異なる順序を持つ複数の入力テンソルに対応する複数テンソルオンテンソル回帰アプローチなど、新しいテンソル回帰手法が提案されています。
テンソルベースのモニタリング: 異状検出や故障診断にテンソルベースのモニタリング手法が応用されています。低ランクテンソル分解に基づくイメージベースプロセスモニタリング手法などが、製造プロセスの変化を検出するために使用されています。
手法
本研究では、半導体製造プロセス、特にリソグラフィ工程における高次元の画像ベースのオーバーレイ誤差をテンソルベースのアプローチで効果的に制御し、モニタリングするための方法論を提案しています。この方法論は、高次元のプロセスデータを扱うための新たな枠組みを導入し、具体的な計算手順と実装の詳細を提供しています。
問題の記述と定式化
リソグラフィ工程における主要な課題は、オーバーレイ誤差という形で現れる品質変動を最小化することです。この誤差は、ウェハー上の複数のレイヤー間で生じる微妙なズレにより発生します。著者らは、これらのオーバーレイ誤差を表現するために、多次元のテンソルデータ構造を採用しました。テンソル形式でのモデル表現は、式(1)にて定義されており、各レイヤーの位置ズレを多次元配列として捉えることが可能です。
Bはテンソルパラメーターです。
パラメータ推定
テンソルオンベクター回帰アルゴリズムを用いて、プロセスモデルのパラメータBを推定します。この推定は、基本的な最小二乗法をテンソル空間に拡張したものであり、次元の呪いを解消するためにBは低次元に存在すると仮定し式(2)に示されています。さらに、スパース学習を利用した推定手法を導入し、パラメータの推定精度と計算効率を向上させています。アルゴリズム1にて、この推定手法の詳細な手順が示されており、各ステップでの計算処理が明確に説明されています。
図4は異なるアルゴリズムの比較を表しています。
| 図4. 異なるアルゴリズムによるテンソルパラメータ推定値のPEE |
オンライン制御スキーム
提案された制御スキームは、指数加重移動平均（EWMA）コントローラーをテンソルデータに適用するものです。この手法の安定性は理論的に保証されており、その証明は式(10)に基づいて展開されています。実際のプロセスデータに対する制御スキームの適用例は、図1で視覚的に示されており、制御前後のオーバーレイ誤差の改善が確認できます。
残差モニタリング
テンソルベースの制御チャートを用いたモニタリング手法も開発されました。この手法では、制御残差を分析することで、プロセスが予定の制御範囲内にあるかどうかをリアルタイムで評価します。具体的なモニタリングの手順はアルゴリズム2に記述されており、各種の制御限界を設定する方法も含まれています。表1に、外乱と制御レシピの相関値を変化させた場合のMAE値の概要を示します。テンソル空間におけるEWMAコントローラの安定条件は、画像ベースの品質変数を制御すると確認されました。
| 表1：異なるパラメータ推定量によるMAEのまとめ |
ケーススタディ
提案したテンソルベースのプロセス制御とモニタリング手法を実際の半導体製造プロセスに適用し、具体的なケーススタディを通じてその効果を詳しく分析しています。
異なるプロセスコントローラーの比較
提案されたEWMAコントローラーと従来の画像ベースフィードバックコントローラーを比較しています。具体的には、両コントローラーの制御性能を比較するために、同じデータセットを用いたシミュレーション実験が行われました。表2, 3では、各コントローラーの統計的性能指標（平均誤差、標準偏差など）が示されており、提案されたEWMAコントローラーが全体的に優れた性能を示していることが確認できます。
表2. IMA擾乱に基づく性能 |
表3. ARIMA擾乱に基づく性能
モニタリング方法の性能分析
提案されたテンソルベースのモニタリング手法の効果を評価するために、実際の製造ラインから収集されたデータを使用して、4つのケースについて異なるモニタリング設定の影響を分析しています。この分析では、特に製造プロセスの異常を早期に検出する能力が評価されました。
ケースA：平均シフト
ケースB：分散シフト
ケースC：IMAプロセスによる漸進的ドリフト
ケースD：ARIMAプロセスによる漸進的ドリフト
| 図5 (a). ケースAの𝑇2と𝑄チャートのグラフ |
| 図5 (b). ケースBの𝑇2と𝑄チャートのグラフ |
| 図5 (c). ケースCのEWMAチャート |
| 図5 (d). ケースDのEWMAチャート |
このケーススタディを通じて、提案されたテンソルベースのプロセス制御とモニタリング手法が実際の製造環境で如何に効果的に機能するかが示しています。また、実際のデータに基づく詳細な分析を行うことで、手法の妥当性と実用性がさらに裏付けられ、今後の改善点や応用可能性についての貴重な洞察が得られました。
結論
センサー技術の普及に伴い、品質測定は単変量または多変量変数に限定されず、画像ベースの品質変数が含まれるようになりました。一変量または多変量変数に限定されず、画像ベースの品質変数が含まれます。本研究では、画像ベースの品質変数を持つリソグラフィプロセスのためのテンソルを用いたプロセス制御とモニタリングスキームの設計に焦点を当てました。この研究では、画像ベースの品質変数を持つリソグラフィプロセスのためのテンソルを用いたプロセス制御とモニタリングスキームの設計に焦点を当てます。限られた数の 入力制御変数の数が限られているため、外乱を2つのタイプに分類します。この2種類の外乱は 高次元のテンソルパラメータ推定の複雑さを増大させ、同定可能なパラメータ推定とプロセスコントローラ設計を非常に複雑なものにします。 プロセス制御のためのパラメータ推定器の精度を向上させるために、テンソル空間における既存の最小二乗推定アルゴリズムをスパース学習によって改良し、特にオフラインデータセットにおける制御レシピと最初のタイプの外乱の相関が高い場合に、その限界を改善します。その後、EWMA制御スキームをテンソル空間に拡張し、第一のタイプの外乱を補正し、第二のタイプの外乱に対しては異なるモニタリング手法を導入します。重要な点は、パラメータ推定アルゴリズムの特性とEWMA制御器の安定性が保証されていることです。提案するパラメータ推定、プロセス制御、およびモニタリング手法の効率性を説明するために、検証のための大規模シミュレーションとケーススタディを提案しました。既存の画像ベースのプロセス制御と比較することで、EWMA制御が自己相関を持つ不安定な外乱の予測と補償において優れていることを発見しました。最後に、T2, Q, EWMAチャートは、製造環境から発生する2つ目のタイプの外乱の異なるタイプの変動を効率的に監視するためにも採用され、包括的なプロセス制御と監視の方法論を確立しています。
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