利用仓本模型在非欧几里得空间进行机器学习

三个要点
✔️ 提出了一种利用克拉莫托模型及其向更高维度的扩展对非欧几里得数据集进行机器学习的方法。
✔️ 论证在几何深度学习中使用对某些对称群的作用不变的概率分布族作为概率模型。
✔️ 利用克拉莫托振荡器和蜂群模型实现对变换群协调作用的学习，以及对球面和双曲面多圆盘数据的学习。

Kuramoto Oscillators and Swarms on Manifolds for Geometry Informed Machine Learning
written by Vladimir Jacimovic
(Submitted on 15 May 2024)
Comments: Published on arxiv.
Subjects:  Machine Learning (cs.LG); Mathematical Physics (math-ph); Adaptation and Self-Organizing Systems (nlin.AO)

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概述

机器学习是一门在数据中寻找模式的科学，但以前的许多模型都假定空间是欧几里得或平面的。然而，最近的研究表明，许多数据集本身具有非欧几里得空间属性，即曲线空间属性。例如，球体和双曲面等空间。为了应对这种情况，有人提出了一种使用 Kuramoto 模型的新方法。Kuramoto 模型描述了振荡器的集体运动，可以扩展到非欧几里得空间的数据学习。

此外，这些模型还能利用具有特定对称性的概率分布进行高效的机器学习。这样，就能在传统欧几里得空间的边界之外进行更灵活、更强大的数据分析。本文详细介绍了这些新方法的理论背景和实际应用。

相关研究

机器学习的理论发展有几个有趣的研究方向。下面列出了一些近期值得关注的课题。

利用连续时间受控动力系统进行深度学习

2017 年，Weinan E 提出了一种新方法，将神经网络 (NN) 变为连续时间受控动态系统。这一想法基于以下观察：传统的神经网络可以解释为受控常微分方程（ODE）的欧拉离散化。这使得权重可以由控制函数代替，并使用庞特里亚金最大原则进行训练。这项研究产生了一种名为 "神经 ODE "的成果，旨在将许多机器学习任务形式化为最优控制问题。

概率建模和推理

在机器学习中，学习通常被视为根据新信息更新信念的过程。其目的是学习最优的概率分布。概率分布空间上的梯度流是这一过程的内在组成部分。例如，使用基于费雪信息度量的自然梯度可以提高概率建模的效率和准确性。

非欧几里得空间中的深度学习

许多数据集都有非欧几里得几何图形，如果忽略这一点，往往会导致算法不准确。例如，当学习三维空间中的旋转时，假设为欧几里得空间的传统 NN 就不适用。相反，需要使用几何方法来处理曲线空间中的数据，如黎曼流形和双曲几何。

基于物理的机器学习

这是一种利用物理定律（如守恒定律和对称性）设计机器学习算法的方法。基于物理定律的模型可提供高效、透明和稳健的算法。能量和熵的概念在早期的机器学习算法中也起到了核心作用。

这些研究方向都以各自的方式拓展了机器学习的可能性。其中，基于非欧几里得几何的方法和利用物理定律的方法将变得越来越重要。

建议方法

在这里，我们提出了一种在非欧几里得空间使用克拉莫托模型进行机器学习的新方法，并将其推广到更高维度。具体来说，我们采用以下方法。

克拉莫特模型的扩展

仓本模型于 1975 年推出，用于描述振荡器同步现象。该模型被扩展用于学习高维流形（如球面和李群）的数据。例如，它可以学习特定对称群的作用，并处理球面和双曲多圆盘的数据。

使用随机模型

作为几何深度学习中的概率模型，使用了对特定对称群作用不变的概率分布族。这样就可以在非欧几里得数据集上进行高效的概率建模和推理。例如，在学习双曲空间和球面上的分布时，可以使用这些概率分布进行更精确的建模。

学习牛群模型

克拉莫托振荡器和群模型用于学习变换群的协调作用。这样就可以学习某些变换群（如特殊正交群、单元群、洛伦兹群等）的组合作用。这些模型还可用于有效处理球面和双曲空间的数据。

噪音与分布之间的关系

通过在 Clamot 模型中添加噪声，可以学习特定的概率分布（如 von Mises 或包络考奇分布）。这样就可以从初始均匀分布开始，在噪声影响下进行学习。这种方法可以高效地估计复杂的分布。

试验

我们进行了一系列实验，利用提出的仓本模型及其高维泛化模型演示了非欧几里得空间的数据学习。实验结果如下

球体上的数据学习

Kuramoto 模型在球面上的扩展证实了其高效训练球面数据集的能力。特别是，与基于欧几里得空间的传统方法相比，球面分类问题的准确性得到了提高。

双曲空间中的聚类

在双曲空间的聚类实验中，使用 Kuramoto 模型能够捕捉到数据的潜在层次结构，从而实现高度精确的聚类。这一结果对于自然语言处理和分子结构分析等分层数据集尤其有用。

学习转型小组的协调行动

对特殊正交群和单元群等变换群作用的学习实验表明，所提出的模型可以高精度地学习这些复杂的变换。这些成果有望应用于旋转和变换起重要作用的领域，如机器人学和计算机视觉。

审议

在非欧几里得空间学习的优势

利用仓本模型及其高维泛化，证明了所提出的方法可以有效地学习非欧几里得空间的属性，而这些属性是传统的基于欧几里得空间的方法无法捕捉到的。特别是，建议的方法在分析球形空间和双曲空间等弯曲空间的数据时非常有用。

随机模型的重要性

通过利用对某些对称群的作用具有不变性的概率分布，所提出的方法可以在非欧几里得空间上进行高效的随机建模和推理。与传统方法相比，这种方法具有更高的准确性和效率。

结论

本研究提出了一种在非欧几里得空间进行数据学习的新方法，该方法使用克拉莫托模型，并将其推广到更高维度，其有效性得到了验证。这使得该方法能够有效处理基于欧氏空间的传统方法无法处理的复杂数据结构。

未来，在加强理论基础的同时，他们希望将该模型应用于机器人、自然语言处理和分子结构分析等实际问题。他们还计划将该模型扩展到其他非欧几里得空间，并提高其计算效率。他们希望这些成果能带来进一步的创新和多样化的应用。

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与本文相关的类别

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• 深度学习
• 自然语言处理
• 基于拓扑结构的机器学习
• 计算机视觉