首个自动发现可积分系统偏微分方程 (PDE) 的机器学习方法

三个要点
✔️ OptPDE 是一种新的机器学习方法，旨在发现可积分偏微分方程 (PDE)，并优化其系数，使守恒量的数量最大化。
✔️ 在这项研究中，使用 OptPDE 发现了四个偏微分方程族。其中三个是新发现的，每个都至少有一个守恒量。
✔️ 该研究框架由人工智能和人类科学家合作建立，旨在发现和分析可积分系统。

OptPDE: Discovering Novel Integrable Systems via AI-Human Collaboration
written by Subhash Kantamneni, Ziming Liu, Max Tegmark
(Submitted on 7 May 2024)
Comments: Published on arxiv.
Subjects:  Machine Learning (cs.LG); Computational Physics (physics.comp-ph)

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概述

OptPDE 是第一种自动发现可积分系统偏微分方程 (PDE) 的机器学习方法，其目的是优化 PDE 系数并最大限度地增加守恒量。可积分系统在自然科学中发挥着重要作用，但却极难发现。为了解决这个问题，作者提出了一个人工智能和人类科学家共同合作的新框架。与依赖符号推导的传统方法相比，这种方法能更高效地发现新的可积分系统。

相关研究

可积分系统的研究在物理学和应用数学领域有着悠久的历史，但由于需要大量的计算资源和专业知识，传统方法很难发现新的可积分系统。最近，机器学习技术为解决这一问题做出了贡献。

从物理数据中发现存储量

过去的研究试图利用机器学习从实验物理数据中提取物理定律和守恒量。例如，有研究利用神经常微分方程（NODE）对物理系统的动力学进行建模，并在此基础上估计守恒量。这些方法是数据驱动的，可以在事先不了解系统全部细节的情况下发现重要的物理特性。

从微分方程中发现守恒量

有些方法直接分析微分方程来寻找守恒量。例如，有人提出了一种方法，利用符号回归搜索微分方程的解形式，并推导出守恒量。这样就可以从数学角度分析微分方程的物理约束和不变性。

通过守恒量优化发现新型可积分系统

在 OptPDE 研究之前，现有的机器学习方法无法动态调整微分方程系数以优化守恒量。现有方法主要侧重于从分析或数值已知方程中推导守恒量，但 OptPDE 发展了这种方法，并通过最大化守恒量本身来主动生成新的可积分系统。

人工智能与人类协作

最新的研究通过将人工智能的计算能力与人类的直觉和专业知识相结合，加速了科学发现的进程，而 OptPDE 方法则进一步推进了这一合作工作，由人工智能生成候选的新可积分系统，并由人类评估其物理意义和准确性。澄清。

鉴于上述背景和进展，OptPDE 与以往的方法相比是一大进步，有望在未来的研究和应用中发挥重要作用。通过这种方法，新的可积分系统将被陆续发现，许多物理现象也将因此从新的角度得到分析。

建议方法

OptPDE 的核心技术是通过调整 PDE 系数最大化守恒量（nCQ）。该方法包括两个主要步骤

开发 CQFinder

... 输入：为 PDE 和守恒量 (CQ) 指定一个基础。

......过程：对于给定的 PDE，用符号推导出守恒量并计算其数量 (nCQ)。守恒量是指 PDE 应该随时间不变的量。这一步计算给定 PDE 的守恒量如何随时间不变，并推导出它们的符号形式。

输出：存储量的数量及其符号形式。

执行 OptPDE

... 输入：带初始系数值的 PDE 基础。

...过程：CQFinder 的输出（nCQ）用于优化 PDE 的系数。该过程使用自动微分来确定哪些系数扰动会增加 nCQ。

/ 输出：带有优化系数的 PDE。

图 1：OptPDE 原理图。

图 1 直观展示了 OptPDE 流程。图中显示了优化 PDE 基项系数和最大化 PDE 保守量数量 (nCQ) 的过程。图例显示了 PDE 的保守性在系数首次调整前后的变化情况；OptPDE 利用这些信息生成了更保守的 PDE。

试验

OptPDE 针对多种 PDE 格式进行了测试。特别是对包含三阶多项式以下项的常见 PDE 进行了性能测试。

实验装置

PDE 格式的设置不受限制，因此产生了多样化的 PDE 系列。其中包括多达 33 个可训练参数；OptPDEs 在 5000 个不同参数集上独立运行。

结果分析

所发现的解被表示为至少有一个守恒量的四个 PDE 族。在已确定的 PDE 族中，有一个是已知的 Korteweg-De Vries（KdV）方程的特例，其余三个是新的。

图 2：解决方案的聚类分析

在图 2 中，使用 3D PCA 显示了 OptPDE 返回的解簇。这样就可以直观地分析解结构在空间中的分布情况。这种分析有助于深入了解新的 PDE 族是如何被发现的。

因此，OptPDE 能够发现传统方法经常忽略的新的可积分系统。该技术可应用于物理学、工程学和其他领域的建模问题。

结论

OptPDE 与人类科学家之间的合作研究方法显示了在发现和分析可积分系统方面取得重大进展的潜力。预计在未来，OptPDE 将被用于模拟更多物理现象和分析新的 PDE 族。这项研究为人工智能与人类在科学研究中的合作提供了一种新的范例，并表明类似的方法可以应用于其他物理问题。

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